【感想】『数学ガール』の分からなかったことなど【数学を学びたくなった】

こんにちはカイリトです。

今回の記事は「数学ガール」という本を読んだので、

その感想と分からなかったところを書いていきました。

まだわかっていないことは多いけど、

これからも調べてわかるようになったらその都度追記していきたいです。

この本についてのネタバレが存在しているので注意してください。

買ったきっかけ：ブックオフで見つけもう一回読んでみた

この本は中学の時に図書館で見つけて読んでいました。

その当時は中身の数学の話はあまり理解できていなくて、

物語として読んでいるだけでした。

そんな中で最近になってこの本をブックオフで見つけた時に、

今は結構先まで発売されていると知って、

またもう一回読んでみようかなと思った。

前は分からないところはそのままにして先に進んだけど、

今回からは分からないところはちゃんと調べていきたいと思います。

今回の記事を書いているときにわからなくても、

これからの勉強でも覚えていて、

わかるようになったら追記してわからないところをなくしていきたいです。

本の内容の感想と分からなかったところ

この「数学ガール」という本の内容は、

• 僕
• ミルカさん
• テトラちゃん

の三人が数学の問題を解いたり、

話をしたりする物語になっています。

三人は僕とミルカさんは高校二年生で、

テトラちゃんは高校一年生になっている。

テトラちゃんは僕に数学を教えて欲しいと頼みそれから関係が続いている。

問題などは最初の一章では、

ミルカさんと僕との出会いの場面でその時に、

ミルカさんが僕に向かって、

と問題を出してきて、

それに対して僕が続きを答えていたりしていた。

そのあとはミルカさんと僕はたまに話したりするような仲になった。

この問題は最初の問題で少し簡単だったのか、

前に読んでいた時のことを覚えていて、

答えがわかる状態だった。

これからその問題を解いていく中での、

心に残った感想を書いていきます。

わからなかったところは最後にまとめて書いていきたいと思います。

感じたところ：いいセリフがたくさんあって次も読んでみたい

この作品で出てくるテトラちゃんは高校生になってから、

数学を先輩たちに教えてもらっていたけど、

教えてもらった時に、

テトラちゃんがわかっていない感じをそのままにしないで、

なんとかしようとしていたのはすごいと思った。

自分だったらわかっていないと調べたり、

そのままにして忘れていってしまうことがあるので見習いたいかなと思った。

この本を読んでいて、

できるだけ誤解が生じないようにするために、数学は言葉を厳密に使うんだ。

というセリフを見つけた。

数学は今まではほとんどが高校などの学校でしか習っていなくて、

厳密になどは考えていなかった。

こんなようにこの作品ではいい言葉がたくさん出てきた。

ほかにもいいセリフだと思ったのは、

僕とテトラちゃんの会話の中で僕が、

僕は、数学が好きだ。図書室で、数式をずっと眺めていたりする。それから、授業で出てきた式を自分で再構成したりする。自分で納得しながら一歩一歩進む。学んだことを、きちんと自分で再現できるかどうか確かめる

などや、

僕もそうだからね。僕の場合は、理数系の本棚に向かう。どこの本屋に行ってもそうだ。いつも行く本屋なら、どこに理数系の本が並んでいるか覚えている。棚を見ただけで新刊を見つける。そういうこと。僕は、自分の好きなことをしているだけなんだよ。好きなことに時間を使う。好きなことに手間暇かける。誰でもそうだよね。深く、深く、考えていたい。ずっと、ずっと、思っていたい。好きってそういう気持ちでしょう？

などのセリフを読んで心を動かされて、

自分も好きな気持ちを大切にしていきたいように思った。

これからもいいと思うセリフが出てくると思ったので、

続きの巻も読んでいきたいかなと思った。

この「数学ガール」はまだ一巻だけど、

数学の話をしていて僕やミルカさんの話は難しく感じて、

ほぼ初心者のテトラちゃんについていこうとしたけど、

この巻の最後の方にはテトラちゃんも難しい話に少しついていけていて、

この巻以降の数学の話にはついていけないのではと心配になった。

二章の最初と最後が同じようなセリフで面白かった。

最初は、

わたしのこころは　あなたのことばかり

萩尾望都『ラーギニー』

と引用されていた。

章の最後にはテトラちゃんが僕に対して、

ああ、ほんとうに、あたしの心は先輩のことば……

で終わっていてラブコメもやっていくのかと思った。

この作品は全十章になっていて、

九章からはバーゼル問題という、

$$\zeta(2)$$を求める問題をやっている。

これからの作品はこのような名前のついた問題を解いていくのかなと思った。

「数学ガール」の話の中で進んでいくと、

話が難しくなってきてそのまま読んでいても理解できなくなったので、

これからは同じようにノートに数式を書いたりしていこうと思った。

ほかにもわからないところを同じようにノートに書き出していきたいと思う。

エピローグ以降で思ったことや感じたこと

エピローグの後には、

あとがき、読書案内、参考文献があるので、

それなども触れて書いていきたいです。

エピローグでは僕と思われる人物が、

先生になっていて生徒と話しているとこだった。

その会話の時に出てきた分割すうの一般項の式がこの本の中で一番難しいのではと思った。

その式はこちらになります、

$$P_n=\frac{1}{\pi\sqrt{2}}\sum_{k=1}^\infty A_k(n)\sqrt{k}\frac{d}{dn}\left(\frac{\sinh\frac{C\sqrt{n-\frac{1}{24}}}{k}}{\sqrt{n-\frac{1}{24}}}\right)$$

ただし、　\(C=\pi\sqrt{\frac{2}{3}}\)　とする。

となっていてどうなっているのかはこの本では解説していないので、

難しいとしかわからなかったけどもいつかはこの式も理解できるようになりたいです。

生徒が先生の写真を見たときに女性の写真を二つ聴いた時に、

先生がテトラちゃんとミルカさんと思わしき人に対して、

友達と言っていて付き合っていないけど、

これからどうなっていくのかが気になった。

その後に読書案内と参考文献があって、

作品内で出てきた問題は何を参考にしたのかがわかったり、

次に何を読むのかの参考になったりする。

その読書案内では、

などが分かれていたので、

自分に合った本を選んでいきたいです。

この先に専門家向けが少し読んでみてもいいかなと、

思えるまではやっていきたいと思っています。

この本の中で今まで読んだ本の「素数の音楽」という本が紹介されていたのは嬉しかったです。

ほかにもこの本の存在のおかげで「虚数の情緒」という分厚い本に出会えたけど、

まだ読めていないけど先にこの「数学ガールシリーズ」を先に読んでいきたいです。

これで「数学ガール」が終わったけども、

まだわからないところはあったけど、

少し調べてみてそれでもわからなかったら、

先に次のシリーズを読んでいきたいです。

そうして数学ガールを読んでいったら、

読書案内にあった本達も読んでいきたいです。

読んでいて驚いたところ

読んでいて驚いたのは少ないけど、

これらのことに驚きました。

これからこの驚いたことについて書けるところを書いていきます。

最初に一章では僕と先輩の出会いから始まったので、

次の章からは二人の話が始まるのかと思っていたけど、

二章になった時にいきなり一年が経っていて、

高校二年生になっていてびっくりした。

その書かれていなかったことに、

僕とミルカさんがどんな会話をしていたのかが気になったりした。

有限から自然に無限を考えれているところ

次はミルカさんと僕が、

$$\begin{align}(1)(1-x)&=1-x^1\\(1+x)(1-x)&=1-x^2\\(1+x+x^2)(1-x)&=1-x^3\\(1+x+x^2+x^3)(1-x)&=1-x^4\\(1+x+x^2+x^3+x^4)(1-x)&=1-x^5\\&⋮\\(1+x+x^2+x^3+x^4+…+x^n)(1-x)&=1-x^{n+1}\end{align}$$

こんなような式を考えていて、

最後の式を変形して、

$$1+x+x^2+x^3+x^4+…+x^n= \frac{1-x^{n+1}}{1-x}$$

この式を出した。

上の式は等比数列の和の公式になっていて、

そこからミルカさんが僕に対して、

「次はどこに進みたい」と聞いて、

それに対して僕が「等比数列の無限級数を考えるのが自然かな」と言っていて、

有限和を考えていてそこから、

自然に無限を考えてることができていて驚いた。

\(x^2\)を連続から離散的にすること

この話は６章で微分と差分の、

連続的な世界と離散的な世界を考えていた。

そんな時に\(x^2\)を微分すると、

\(2x\)になってそれと一致する差分を考えていた。

その差分の答えが\((x-0)(x-1)\)になっていて、

いきなり答えを出していて驚いた。

これの、

$$x^2 \leftrightarrow (x-0)(x-1)$$

という答えを知らない状態だと、

どういう考え方をしていけば答えに行けるのかが気になったりした。

\(\zeta(1)\)が無限に発散したこと

８章では\(\zeta(1)\)という式の、

$$\zeta(1)=H_\infty=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$$

を考えていくことになった。

$$H_\infty=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\cdots$$

を考えていて、

kを増やしていくとどんどん増えるけど、

増える数は鈍くなっていくので、

どこかに収束するのかと思っていたけど、

無限に発散したので驚いた。

そのすぐ後にはテトラちゃんが、

正の数を足していったらいくらでも大きくなると言っていて、

その時に僕がこんな問題を出して、

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}$$

この問題を計算していくと、

$$\begin{align}&=\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}\\&=\left(\frac{1}{2^0}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}\right)-\frac{1}{2^0}\end{align}$$

このように変えていくことができて、

そこに等比数列の和の公式を使って

$$=\frac{1-\frac{1}{2^{n+1}}}{1-\frac{1}{2}}-1$$

を考えて、

その後分子を取り除いて不等式を作り、

計算したら

$$\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2^k}<1$$

になっていくらでも大きくなるとは限らないという例ができた。

\(\sin x\)の積と和を考えていていきなり問題が解けたこと

９章ではバーゼル問題という、

$$\zeta(2)=\displaystyle\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}$$

問題を考えることになった。

だけどテトラちゃんは違う問題の、

$$\sin x=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$$

これを考えることになって、

それを僕とテトラちゃんと一緒に考えて微分を使うことで、

$$\sin x = +\frac{x^1}{1!}-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots$$

上のテイラー展開を導いた。

次の日にテトラちゃんが\(\sin x \)を因数分解をするというアイデアを持ってきて、

それをミルカさんが、

まずはテイラー展開を\(x\neq0\)として\(x\)で割った。

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots$$

次に\(\sin x\)を、

$$\sin x =x\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{3\pi}\right)\left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\cdots$$

このように因数分解した。

そうして両辺を\(x\)で割ってさらに和と差の積は２乗の差を使って、

$$\frac{\sin x}{x} =\left(1+\frac{x}{\pi}\right)\left(1-\frac{x}{\pi}\right)\left(1+\frac{x}{2\pi}\right)\left(1-\frac{x}{2\pi}\right)\left(1+\frac{x}{3\pi}\right)\left(1-\frac{x}{3\pi}\right)\cdots$$

$$\frac{\sin x}{x}=\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots$$

このように変形して、

因数分解とテイラー展開の両方を等しいとしてみなした。

$$\left(1-\frac{x^2}{\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{2^2\pi^2}\right)\left(1-\frac{x^2}{3^2\pi^2}\right)\cdots=1-\frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}-\frac{x^6}{7!}+\cdots$$

そこからは両辺の\(x^2\)の係数を抜き出したら、

$$-\frac{1}{1^2\pi^2}-\frac{1}{2^2\pi^2}-\frac{1}{3^2\pi^2}-\frac{1}{4^2\pi^2}-\cdots=-\frac{1}{3!}$$

こうなっていき、

その後にはマイナスを消して両辺に\(\pi^2\)を掛けると、

$$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$

こんなように変形ができて、

いきなり最初に考えていたバーベル問題が解けていて、

テトラちゃんと一緒のように驚いた。

\(x^2\)の係数を考えていたら、

いきなりバーゼル問題が解けて、

どうしてこのように解けたのか、

意味がわからなくて混乱した。

違う章に前章に出てきた問題が出たこと

この「数学ガール」は全１０章で最後の章の問題で、

分割数を考えることになった。

問題を考えている時に、

前の章で出てきたバーゼル問題が出てきて、

テトラちゃんと同じように驚いた。

ほかにも、

などのこの本で出てきたことが、

再度出てきてそこで、

この本の内容は繋がっているじゃないのかと気づいた。

この巻以降の「数学ガール」シリーズは、

同じように一つの問題に向かって書かれていくのかとも思った。

よくわからなかったところ

この本を読んでいてわからないところが出てきて、

などのいろいろなわからないところが出てきた。

その中には調べたら簡単にわかりそうになるものがあって、

その結果もしっかりと書いていきたいです。

これからも調べたりしてこのわからなかったものを少なくしていきたいです。

行列の積がなぜそうなるのかわからなかった

この本の３章では、

$$\begin{pmatrix}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}\cos^2 \theta-\sin^2 \theta & -2\sin \theta \cos \theta \\ 2\sin \theta \cos \theta & \cos^2 \theta -\sin^2 \theta \end{pmatrix}$$

こうゆう行列の計算が出てきて、

行列の積の計算は、

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} &x_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}x_{11}+a_{12}x_{21} & a_{11}x_{12}+a_{12}x_{22} \\ a_{21}x_{11}+a_{22}x_{21} &a_{21}x_{12}+a_{22}x_{22} \end{pmatrix}$$

こんなようにやると知った。

その時になぜ行列の積が、

$$\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} &a_{22} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{11} & x_{12} \\ x_{21} &x_{22} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}\times x_{11} & a_{12}\times x_{12} \\ a_{21}\times x_{21} &a_{22}\times x_{22} \end{pmatrix}$$

こんなようにやらないのかが疑問になった。

なぜ\(2\pi\)が360度なのかわからなかった

このわからないところも、

３章になって、

θを90度…つまり\(\frac{\pi}{2}\)ラジアンずつ増やしていけばよいから、

と書かれていて、

このラジアンという単位がわからなかった。

ラジアンという単位を調べてみるとこれは、

重さのg、t、lbと同じように、

角度の表現の仕方だとわかった。

ラジアンは半径が１の円弧の長さがそのまま角度になるもので、

このように変換ができることを知った。

母関数とはなんだろうか

４章にこの母関数という存在が出てきて、

数列\(\leftrightarrow　\)関数

\(\langle a_0, a_1,a_2,a_3, \cdots\rangle\leftrightarrow a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots\)

このようにして数列に対応付けられた関数を母関数と言っていた。

この本では、

$$\langle 0,1,1,2,3,5,8, \cdots\rangle$$

というフィボナッチ数列を考えてみて、

それを母関数にして、

そこから関数を閉じた式に求め、

そこからフィボナッチ数列の一般項を求めた。

$$F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left(\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right)$$

このようにして求めていったけど、

初めて母関数を知っていたので、

どうして一般項が求めれたのか他に何に使うのか、

などがよくわかっていなかったので、

また他に書かれている本を読んで調べて見たいです。

組み合わせもなんかわかっていない感じがする

この本で、

$$(x+y)^n$$

を展開することをテトラちゃんと僕が考えるときに、

組み合わせが出てきた。

組み合わせは、

n個のものからk個選ぶ場合の数となっていて、

$${}_nC_k=\displaystyle{n\choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$$

このように求めたりする。

今まではこれの組み合わせをやったことがなく、

わからなかったので、

組み合わせも調べていきたい。

テトラちゃんが言っていた「大きくなる」と「大きい」の違いがわからなかった

テトラちゃんと僕が、

$$H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}$$

この問題を考えていくことになった。

その時に僕が、

すべての正の整数\(n\)について、\(n\)が大きくなると、\(H_n\)も大きくなる

という命題が成り立つか聞いて、

テトラちゃんが成り立つと答え、

さらに僕が、

すべての正の整数\(n\)について、\(H_n\lt H_{n+1}\)

この命題の方が厳密になると教えていた。

それをテトラちゃんが教えられた時に、

あっ、わかりました。《大きくなる》という動作的な表現と、不等号を使った《大きい》という叙述的な表現との違いですね。ちょうど、英語の一般動詞とbe動詞のように

と言ってテトラちゃんはわかったような様子になっていたけども、

どう厳密なのかなどで何が何だかよくわからなかった。

そんな細かいことに気づいてわかったテトラちゃんはすごいなーと思った

微分のルールの微分演算子の線形性と冪級数への適用可能性がわからなかった

テトラちゃんと僕が、

$$\sin x=\displaystyle\sum_{k=0}^{\infty}a_kx^k$$

この問題を考えようとした時に、

関数を研究する武器の微分を使おうとしたけど、

テトラちゃんはわからなかったので、

僕がテトラちゃんに簡単に微分を教えることになった。

僕がテトラちゃんに対して、

微分のやり方などを教えているときに、

そう。ほんとうは微分演算子の線形性と冪級数への適用可能性も証明しなくちゃいけないんだけれどね

と言っていた。

その中に出てきた、

• 微分演算子の線形性
• 冪級数への適用可能性

という両方の存在を知らなかった。

まとめ：次の数学ガールも楽しみです

今回の記事では「数学ガール」を読んだ感想と、

わからなかったところを書いていきました。

わからないところの中で、

調べたことは書いていったけど、

まだわからないことが残っているので、

残ったのはまたわかったら追記していきたいです。

改めてこの本を読んでみて、

多少は数学に興味を持っていたことを思い出しました。

まだ全然数学はできるとは言えないので、

少しづつ数学を勉強していきたいです。

数学ガールの本は物語としても面白いし、

いいセリフも読めていけて、

勉強にもなるので、

次の巻も読んでいって記事にしていきたいです。